Divagaciones sobre las progresiones
1
En el libro de Adrián Paenza que acaba de aparecer en los kioskos (por 9.95 euros, anímense) se cuenta esta vieja historia:
El Rey de un condado quería premiar a un súbdito que le había hecho un favor y le había salvado la vida. Cuando éste le dice que lo único que quiere es que ponga en un tablero de ajedrez un granito de arroz en el primer cuadrado, dos en el segundo, cuatro en el tercero, ocho en el cuarto, dieciséis en el quinto, treinta y dos en el sexto, y así, duplicando cada vez hasta recorrer todos los cuadraditos del tablero, el Rey descubre que no alcanzan los granitos de arroz de todo su reino (ni los de todos los reinos de los alrededores) para poder satisfacer la demanda de su “salvador”.
¿Cuántos granos de arroz salen?
Exactamente 18446744073709551615. El número es desde luego enorme, pero cuando nos encontramos con estas magnitudes la intuición nos falla. Todo nos parece igualmente “enorme”. Lo que me ha gustado de Paenza es una idea para hacer más tangible el número: pensar en el peso de ese arroz. Como él no hace la cuenta, la voy a hacer yo.
Cada grano de arroz pesa unos 30 miligramos, así que tendríamos sobre el tablero 550 miles de millones de toneladas de arroz. La cosecha mundial del año 2004 fue de 600 millones de toneladas. Redondeando, para poder pagar a su súbdito, el rey necesitaría todo el arroz que produce el mundo durante mil años.
2
Podemos saber el número de granos porque se trata de la suma de una progresión geométrica: una sucesión 
En nuestro caso, los números son 1,2,4,8… de modo que 
De modo que el número de granos en la casilla i es 
Sustituyendo n=63, tenemos que en la última casilla hay 
3
Hay una cosa sorprendente en este resultado (aparte de su enorme magnitud), y es que ¡la mitad de los granos del tablero están en la última casilla!. En efecto,
Bien pensado, esto es otra manera de ver lo enormemente rápido que crece la progresión. Hay una demostración geométrica muy bonita de este resultado:
Las áreas representan el número de granos en las casillas (empezando en la última, rotulada aquí con 1; la anterior tiene 1/2 de granos, etc).
¿Qué pasa si la razón no es 2?¿Sigue siendo esto cierto? Pensando sobre la figura anterior ya se vé más o menos lo que va a pasar… pero vamos a hacer la cuenta exacta, que no cuesta nada. La fracción que el último término representa sobre el total es:
(la última igualdad aproximada es válida siempre que r>1 y n sea grande) Cuando r=2, tenemos efectivamente que el último término representa el 50% del total; para razones mayores, el último término es más dominante todavía.
4
Mientras escribía estas divagaciones, me he encontrado otra versión del viejo cuento con el que empezábamos, que me gusta más. Aquí la dejo:
Había una vez, hace mucho tiempo, un rey que gobernaba un próspero país. La pobreza era desconocida y todo el mundo tenía un trabajo productivo. Por eso, la aparición de un mendigo caminando por la calle principal causó un gran alboroto en la capital. El rey pidió ver a este hombre extraño. Cuando se lo llevaron, el mendigo declaró que en verdad no tenía ninguna posesión ni ningún dinero para comprar comida. El rey magnánimamente le ofreció todo cuanto pudiera comer en el resto de la semana, y ropas limpias, para que el mendigo pudiera continuar su camino al reino vecino. Sorprendentemente, éste declino la oferta real, y pidió un modesto favor. El rey pidió saber de qué se trataba. El mendigo humildemente solicitó un grano de arroz para el primer día, dos el segundo, cuatro el tercero, y así sucesivamente, doblando cada día la contribución del anterior.
El rey miró por la ventana sus graneros llenos a rebosar y estaba a punto de aceptar cuando su gran visir, que recordaba lo que había aprendido en su asignatura de Introducción a las Matemáticas en la universidad local, advirtió a su majestad que se lo pensara mejor. Para calcular las implicaciones de la petición, sacó un ábaco polvoriento y empezó a calcular exponenciales. Tras un rato de trajinar, encontró que no podía expresar la maginud de los números porque se le acababan las cuentas. El rey, impaciente con su visir ante un deseo tan simple de un pobre hombre, concedió oficialmente al mendigo su deseo. No sabía que había firmado la sentencia de muerte de su reino.
Al día siguiente, el mendigo apareció para reclamar su grano de arroz. Los paisanos se rieron de él y le dijeron que más le hubiera valido aceptar la oferta del rey de comer hasta hartarse en lugar de ese miserable grano de arroz. Al segundo día, volvió a por dos granos. Una semana más tarde, trajo una cucharilla para llevarse los 128 granos que le correspondían. En dos semanas, ya era una porción no desdeñable de medio kilo. Al final del mes, había crecino a 35 toneladas. Unos días después el rey tuvo que declarar la bancarrota. Eso fue lo que se tardó en arruinar el reino.
Y colorín colorado, estas divagaciones han terminado.
12 comentarios para “Divagaciones sobre las progresiones”
Fabula Del Emperador Chino Y El Ajedrez
“Ante la insistencia del emperador de la China para que un maestro de ajedrez le pidiera el regalo que quisiera como contrapartida de sus lecciones, accedió éste a recibir la cantidad de arroz resultante de poner un grano en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente.
Al emperador le costó salir de su asombro –demasiado tarde-, cuando los cálculos del maestro de ajedrez mostraban que no bastaría todo el arroz de China para cumplir su promesa. El emperador, como la gran mayoría de homínidos, no podía pensar exponencialmente.”
(Citado del libro “Cara a cara con la vida, la mente y el Universo” de Eduard Punset.)
La última casilla del tablero tendría 9.223.372.036.854.775.808 granos de arroz. Cifra a la que se llega elevando 2 a la potencia de 63, la cantidad de casilleros del tablero de ajedrez (contando que la primera es la 0).
2 Comentarios en “Fábula del Emperador chino y el ajedrez”
-
Me encanta el interés compuesto….
La regla del 72:
Si divides 72 entre el interés que te da cualquier cuenta de ahorro/pensión/inversión, el resultado será el tiempo que tardarás en doblar el capital invertido. Así pues, si jugamos a un 3%, se doblará en 24 años (72/3=24), a un 6%, se doblará en 12 años, aun 12%, a 6 años….
Por ejemplo, en una vida laboral (48 años más o menos), si jugaramos a un 3% 10.000 $ , duplicando cada 24 años, al cabo de 48 años tendríamos 48.000 $. Si lo jugaramos al 6%, a los 58 años, tendríamos 160.000 $; y si fuera al 12%, a los 48 años, sacaríamos 2.560.000 $.
He aquí la fuerza del interés compuesto usado en esta tabla de ajedrez… 12 es el doble de 6, y 6 el doble de 6….
Pero 48.000, no es la mitad de 160.000, ni 160.000, la mitad de 2.560.000.
160.000 es el cuádruple de 80.000, y 2.560.000 es 64 veces 48.000.
Los granos de arroz en la tabla de ajedres funciona con interés compuesto…. Busquemos fondos que nos den alta rentabilidad… y hagamos crecer nuestro dinero, como realemtne se merece… mediante interés compuesto….
Los bancos: menudos c… , nos dan el interés de nuestra cuenta de ahorro normal en interés simple, y sin embargo nos cobran (si alguna vez no pagamos la tarjeta por ejemplo), en interés compuesto… Vaya robo!!!
Aprendamos a invertir de forma diversificada y promediada, saltémonos a los bancos y tengamos el poder del interés compuesto en nuestras manos…. Y si no sabemos, que nos enseñen… pero no dejemos que los bancos actúen como intermediarios y se enriquezcan con el dinero de todos nosotros… con mi bolsillo juego yo…, no ellos!!!
Ahí queda.
-
Interesante lo del interés compuesto, no sabia que a la usura se le llamaba también así.
Sobre los bancos, mejor correr un estúpido velo por que a estas alturas todos sabemos lo usureros ladrones que son
13 / Octubre / 2007 en 4:28 am
Bueno, ahí te va el final de la historia que yo conozco:
Al escuchar la propuesta del mendigo, el Rey, nada tonto y con toda la malicia propia de alguien que sabe el dinero que tiene, y que sabe hacer negocios, le ofreció lo siguiente:
Valiente hombre que has salvado mi vida -dijo el Rey- ¿Por qué limitarse a las 64 casillas de un tablero de ajedrez? Me has hecho un gran favor y esto tiene que ser pagado a lo grande.
Te ofrezco, valiente hombre, pagarte lo que me pides, pero para un tablero de ajedrez con una infinidad de casillas, sí, lo has escuchado bien, con una INFINIDAD de casillas, Te pagaré 1 grano de arroz por la primer casilla, 2 granos por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta…. y así, hasta el infinito posible número de casillas que tendría un tablero de ajedrez que esté a la altura del favor que me has hecho.
Es más, querido sirviente de su majestad, te ofrezco pagarte todo en este momento, ¡en este mismo momento! no tendrías que venir nunca más a este Reino si no lo deseases - Concluyo el Rey.
El Mendigo aceptó contento e ingenuo la propuesta del Rey.
El matemático de la corte hizo un rápido cálculo:
Sea X la cantidad de granos de arroz a pagar. Entonces
X = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ….
Entonces si multiplicamos por 2
2X= 2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …. )
= 2 + 4 + 8 + 16 +…..
= X - 1
Así que el número de granos de arroz a entregarte satisface la ecuación
2X= X-1
que si la resolvemos nos da el valor X = -1
entonces el Rey le tenía que pagar -1 grano de arroz, es decir, el mendigo en realidad le debía un grano de arroz.
El mendigo, por ser mendigo, no le pudo pagar su grano de arroz y entonces fue llevado al calabozo en donde pasó el resto de sus días….
13 / Octubre / 2007 en 2:34 pm
Bueno, lo de que suma -1 es completamente cierto si uno toma la norma 2-ádica.
13 / Octubre / 2007 en 4:13 pm
Hay numerosas versiones de esta historia, y me da en la nariz que son todas espúreas (es decir, escritas en un momento y lugar muy posterior al objeto del relato). En la variante del inventor del ajedrez, en ocasiones se le nombra como Sisa (Sissa, Sessa, etc) y en otras permanece anónimo.
¿Alguien sabe algo más de esta historia? Cuándo fue escrita, de dónde sale el nombre de Sisa
13 / Octubre / 2007 en 4:27 pm
Por mi parte sólo puedo decir que sobre esas 64 casillas (en ajedrez21.com y luego en Buho21.com) he perdido muchas horas de mi vida. Aunque no puedo decir cuantas por cada casilla.
Lo que estoy seguro es que si hubiera dedicado a leer sólo la mitad del tiempo que en una temporada dediqué a jugar al ajedrez ahora sabría bastante más de lo que sé.
Pseudópodo, en la entrada anterior comenté algo sobre lo de wikipedia. No sé si lo habrás visto.
13 / Octubre / 2007 en 6:13 pm
Rogelio, E-Becario: pasmao me habéis dejado con vuestros comentarios. Pero veo que tenéis razón, aunque lo de la norma 2-ádica lo tengo que rumiar (en mi inocencia, pensaba que iba a ser como el módulo 2 pero ya he visto que no…).
Por otra parte, Rogelio, he comprobado que si en tu argumento multiplicas por cualquier potencia de 2 sigue saliendo X=-1, y que esto es una bonita consecuencia de lo que decía en el post de que la suma de los términos del 0 al (i-1)-simo es igual al término i (menos 1)… eso sí, la ecuación tiene otra solución: x= infinito… está claro al mendigo le pillaron porque esto ocurrió en una época antigua, de a.d.C. (antes de Cantor)
A. N. Ónimo, seguro que la historia es apócrifa. Pero sería curioso saber de dónde viene: ¿es tradicional, tiene un autor…? (Loiayirga, tú que encontraste un antecedente griego del Aprendiz de Brujo, a lo mejor sabes algo…Sobre lo de la wikipedia, te contesto en el otro post)
13 / Octubre / 2007 en 10:47 pm
A mi me gustó mucho esta forma de darle un giro a la historia, aunque el final en realidad no es muy amigable.
Estoy de acuerdo que en los números 2-áidcos el resultado es verdad, es decir X=-1 y esto es básicamente porque la sucesión 2^n converge a cero en estos números. Sin embargo, y aquí también podemos ver que el matemático de la corte no era un matemático de este siglo (ni del pasado), pues para poder hacer la multiplicación por 2 y distribuir el 2 en la suma, se necesita, al menos, que la sucesión sea convergente. Si una sucesión no converge (incluso si no converge absolutamente), entonces las leyes de las operaciones (asociativa, distributiva etc…
en general no siguen siendo ciertas. Es decir, en los números de la época x no era -1, es claro, pero lo que sí es verdad, es que en esas épocas se hacían sumas infinitas sin tener muy claro cómo y por qué daban los valores que les daban, por ejemplo esta:
1= 1 + (- 1 + 1 - 1 +….) = (1-1) + (1-1) + … = 0
14 / Octubre / 2007 en 12:50 am
Rebuscando entre mis libros, acabo de encontrar que George Gamow cuenta esta historia, diciendo que es sobre el inventor del ajedrez y llamándole Sissa Ben Dahir, pero sólo dice que es una vieja leyenda.
Por cierto, que me habría ahorrado bastante trabajo de haberlo leído antes, porque da el número exacto de granos (y no es tan trivial como parece: prueben a hacer la cuenta en excel y verán lo que da
) y hasta hace el cálculo con trigo: le sale que hace falta la cosecha mundial de 2000 años, que es del orden de lo que me sale a mí con el arroz (los granos de arroz son seguramente algo más ligeros que los de trigo, porque las cosechas son parecidas 
)
Por cierto, Gamow era un genio, y no sólo de la física sino de la divulgación…(el libro es “Uno, dos tres, infinito….”
15 / Octubre / 2007 en 6:24 pm
La historia la recuerdo gratamente porque otra versión de ella leí en mi infancia, con el tal Sissa, que era un prisionero chino, que para matar el tiempo mientras estaba en la cárcel, con un suelo de baldosas blancas y negras, que le dieron la idea del tablero. La historia habla de que se hizo tan famoso por su juego, que primero los guardianes, luego el director de la prisión y al final hasta la hija del emperador acudían a la cárcel para jugar con él. Enterado el emperador le llamó y le ofreció lo que quisiera por el invento… menos la mano de su hija. El Sissa que ademas de inventar el juego del ajedrez era muy hábil, le pidió lo que él ya sabia como imposible, los 2 elevado a la 24 granos de arroz, y el emperador, dice la historia, decepcionado por tan “humilde” petición accedió a ella y le mandó a cocina para que le dieran la cantidad pedida… y como lógicamente era imposible acceder a ella, tuvo que volverle a llamar, y esta vez si, decirle que podía pedir lo que quisiera… con lo que Sissa corrió a pedir la mano de su hija. Y colorín colorado… este cuento se ha acabado
15 / Octubre / 2007 en 9:01 pm
Preciosa la versión geométrica de las progresiones, es una forma de ilustrar muy adecuada para visualizarlas y explicarlas cuando lo hacemos evitando detalles (poner aquí el parental advisory
Por cierto el libro de A. Paenza está disponible on-line (lo lamento por si chafo las ventas, aunque por el precio que tiene merece indudablemente la pena comprarlo)
http://deproapopa.blogspot.com/2007/07/archivero-agradecido.html
Saludos.
30 / Octubre / 2007 en 1:31 am
Porque se llaman progresiones geometricas?
30 / Octubre / 2007 en 9:40 pm
Buenísima pregunta. No tengo ni idea. ¿Alguien sabe algo?
22 / Mayo / 2008 en 2:03 pm
La ilustración de la historia de granos de trigo me parece muy interesante para una clase de progresiones geométricas y cuanta enseñanza podia dejarnos esta noble ilustración y no solamente ella sino que hoy en día este interesante tema se esta aplicando en numerosos negocios una por ejemplo la empresa herbalay (se necesita vendedores) y se presentan muchos, los capacita, los entrenan y luego de un proceso de selección se quedan los que tienen tal talento de vendedores en adelante llegan a ser coordinadores ( A ) pero estos a la vez consiguen otros vendedores que pueden ser ( a1, a2, a3, … ) y cada uno de elllos a la vez pueden conseguir otros vendedores ( a11, a12, a13, ….) , ( a21, a22, a23,…..) imagínese solo en ¿ cuanto tiempo tu y yo y ellos seremos vendedores? de herbalay y todo los lay igual en los consumidores de bebidas alcoholicas el tatarabuelo da ejemplo de consumo al abuelo este al hijo y este al nieto y si son varios nietos imagínese !todos somos consumidores de alcohol! solo Dios taita puede salvarnos. gracias por pensar y escribir como los arabes hay muchso príncipes en esta tierra y sigan escribiendo a uds. mis mas profundo agradecimiento. buenos dias